Σε επόμνεο βήμα {jatex} x^2 {/jatex} βάζουμε λατεχ \[x^2 \Leftrightarrow x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow \int_a^b f(x) dx \] και βλέπουμε.
Γράφουμε και inline \(\frac{1}{2}\) latex !
\section{Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης στους ακεραίους \(\mathbb{Z}\)}
$\(\begin{theorem}[Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης]
Αν \)\Delta , \delta \in \mathbb{Z}\(, με \)\delta \neq 0 \(, τότε υπάρχουν μοναδικοί \)\pi , \upsilon \in \mathbb{Z}\(, τέτοιοι ώστε:
\[ \fbox{\)\Delta = \pi \cdot \delta + \upsilon\(}\]
kai
\[\fbox{\)0\leq \upsilon < |\delta | \(} \]
\end{theorem}
\)\(
Οι υπόλοιπες ιδιότητες στις σημειώσεις από τη συνάντηση.
\section{Εφαρμογές προς εξάσκηση}
\begin{exercise}
An \)a,b\in \mathbb{N}\(, me \)a>b\( και \)a+b = 6612\( kai h διαίρεση \)a:b\( έχει πηλίκο \)75\(, na βρεθούν οι \)a,b\(.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Αν ο αριθμός \)a\in\mathbb{N}\( στη διαίρεση με 5 αφήνει υπόλοιπο 2 και στη διαίρεση με 6 αφήνει υπόλοιπο 1, να βρεθει το υπόλοιπό του στη διαίρεση με το 30.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Αν \)a,b\in\mathbb{Z}\( και \)n\in \mathbb{N }-\{0\}\( kai οι διαιρέσεις \)a:n\( kai \)b:n\( αφήνουν ίδιο υπόλοιπο, τότε να αποδειχθεί ότι \)\frac{a-b}{n} \in \mathbb{Z}\(.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Να βρεθούν οι ακέραιοι \)k\(, για τους οποίους ο αριθμός \)A=\frac{2k+1}{3}\in \mathbb{Z}\(.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Αν \)a\in \mathbb{Z}\(, τότε να αποδειχθεί ότι \)A = \frac{a(a^3 + 1)}{2}\in \mathbb{Z}\(.
\end{exercise}
\begin{exercise}
An \)a \in \mathbb{Z}\( τότε να αποδειχθεί ότι \)a^2 = 5k\( ή \)a^2 = 5k+1\( ή \)a^2 = 5k + 4, k\in \mathbb{Z}\(. Na βρεθούν οι ακέραιοι \)a\in \mathbb{Z}\(, ώστε \)\frac{2a^2 + 8 }{5} \in \mathbb{Z}\(.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Αν \)a\in \mathbb{Z}\( τότε να αποδειχθεί ότι \)a^2 = 3k\( ή \)a^2 = 3k +1$.
\end{exercise}